Explanation of the Notation for Derivatives

Explanation of the Notation for Derivatives – 微分释义

米仔，虽然不知道哪天才能给你讲这些东西，甚至会不会有机会给你讲，但我还是先写下来。也许有一天用得上。

$f'(x) = y’ = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) = Df(x) = D_x f(x) $ 都是导数的定义，但$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$尤其难理解。

明明${\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot{\mathrm{d}x}$，但为什么$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$不是比例关系？这个等式不是约分?

最好从历史演化讲起。更方便理解。

布尼茨无穷小的逻辑漏洞

莱布尼茨时代（17 世纪）没有极限理论，没有 $\varepsilon-\delta$，他的直观模型：
存在一种无穷小的数：比 0 大，但比任何普通正数都要小，记作 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$。导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 就是两个这种无穷小数做除法；微分 $\mathrm{d}y$ 就是函数对应的无穷小增量。
求导的经典例子：$y=x^2$

\begin{aligned} y+\mathrm{d}y &= (x+\mathrm{d}x)^2 \\ y+\mathrm{d}y &= x^2 + 2x\mathrm{d}x + (\mathrm{d}x)^2 \\ \mathrm{d}y &= 2x\mathrm{d}x + (\mathrm{d}x)^2 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= 2x + \mathrm{d}x \end{aligned}

到这里出现核心操作：把无穷小 $\mathrm{d}x$ 直接扔掉，得到 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x$。
👉 漏洞就在这里：$\mathrm{d}x$ 到底是不是 0？
做除法 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的时候：$\mathrm{d}x\neq0$，分母不能为 0；
最后丢弃项 $\mathrm{d}x$ 的时候：又把 $\mathrm{d}x$ 当作等于 0直接丢掉。
同一个 $\mathrm{d}x$，在同一套推理里，一会儿不是 0，一会儿是 0。这是逻辑上自相矛盾，贝克莱主教专门写文章批判这个，史称贝克莱悖论，称无穷小是 “已死量的幽灵”。

拆解三层矛盾

矛盾 1：无穷小量本体的存在性
实数体系里不存在这样的数：
大于 0，同时小于任意给定正实数。
实数公理：任取正数 $a>0$，一定存在正数 $\dfrac{a}{2}$ 比它更小。不存在 “最小的正实数”。莱布尼茨只是直观想象出这么一类数，但没有公理、没有定义说它是什么。它不属于当时已知的数系。
相当于：我凭空说有一种数，既不是 0 又接近 0，然后拿来计算。逻辑上没有根基，只是计算工具，结果却总能算对。

矛盾 2：双重身份：非零用于除法，等于零用于舍弃
刚才 $y=x^2$ 的演算：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x+\mathrm{d}x

如果 $\mathrm{d}x \neq0$：就不能扔掉，结果应该是 $2x+\mathrm{d}x$，不是 $2x$；
如果 $\mathrm{d}x=0$：一开始就不能除以 $\mathrm{d}x$。
莱布尼茨的做法：计算中间保留不为 0，结尾又视同 0 抛弃。这是逻辑跳跃。当时人们辩护：无穷小是 “小于一切可度量的量”，可以忽略；但 “可以忽略” 不是严谨逻辑，只是物理直觉。

矛盾 3：混淆两件东西：真实无穷小增量 vs 线性主部
莱布尼茨理解： $\mathrm{d}y =$ 当自变量变化无穷小 $\mathrm{d}x$ 时，函数真实产生的无穷小改变量。
现代标准分析（柯西‑魏尔斯特拉斯）： $\mathrm{d}y$ 不是函数真实增量，只是切线的线性增量；真实增量 $\Delta y = \mathrm{d}y+o(\Delta x)$。根本不存在 “无穷小的真实增量”，只有有限增量 $\Delta x$，然后取极限 $\Delta x\to0$。
旧：$\mathrm{d}y$ 是曲线真实的无穷小改变；新：$\mathrm{d}y$ 是切线的线性映射，和曲线真实增量不是一回事。

📐 几何直观与动态演示：真实增量 $\Delta y$ vs 微分 $\mathrm{d}y$ 以 $y = x^2$ 在 $x_0 = 1$ 处为例

函数曲线 $y=x^2$ 切线与微分 $\mathrm{d}y = f'(x_0)\mathrm{d}x = 2\Delta x$（线性主部）真实增量 $\Delta y = (1+\Delta x)^2 – 1$（曲线真实改变量）高阶无穷小误差 $\Delta y – \mathrm{d}y = (\Delta x)^2 = o(\Delta x)$ 割线（斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2+\Delta x$）

几何图像：曲线 $y=x^2$ 与切线 $y=2x-1$

局部放大与比例拆解（为什么 $\Delta x \to 0$ 时 $\Delta y \approx \mathrm{d}y$）

步长 $\Delta x = \mathrm{d}x$： +0.350

步长 $\Delta x = \mathrm{d}x$

0.3500

自变量改变量

真实增量 $\Delta y$

0.8225

$(1+\Delta x)^2 – 1 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$

微分 $\mathrm{d}y$（线性主部）

0.7000

$f'(1)\mathrm{d}x = 2\Delta x$

高阶误差 $\Delta y – \mathrm{d}y$

0.1225

$(\Delta x)^2 = o(\Delta x)$

割线斜率 vs 切线斜率

2.3500 vs 2

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2+\Delta x$ vs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2$

数值计算

取最简单的例子：$y=x^2$，固定起点 $x=1$，此时 $y=1$，导数为 $f'(1)=2$。下面只改变步长 $\Delta x$，起点始终不变。

1. 先看一次具体计算

让 $x$ 从 $1$ 增加到 $1.1$，即 $\Delta x=0.1$。

真实增量：沿曲线计算，新函数值是 $1.1^2=1.21$，所以 $\Delta y=1.21-1=0.21$。
微分：取 $\mathrm{d}x=\Delta x=0.1$，按起点处的切线斜率计算，$\mathrm{d}y=f'(1)\mathrm{d}x=2\times0.1=0.2$。

因此，两个比值不同：

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0.21}{0.1}=2.1, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{0.2}{0.1}=2.

这里的 $0.21$ 是曲线上的真实变化，$0.2$ 是切线给出的线性变化。两者相差 $0.01$，没有把它直接丢掉，也没有把它说成等于零。

2. 再把步长逐渐缩小

对任意非零步长 $\Delta x$，都有：

\begin{aligned} \Delta y &= (1+\Delta x)^2-1=2\Delta x+(\Delta x)^2, \\ \mathrm{d}y &= 2\Delta x \qquad (\mathrm{d}x=\Delta x), \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= 2+\Delta x, \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= 2. \end{aligned}

步长 $\Delta x=\mathrm{d}x$	真实增量 $\Delta y$	微分 $\mathrm{d}y$	真实增量之比 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$	微分之比 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
$0.1$	$0.21$	$0.2$	$2.1$	$2$
$0.01$	$0.0201$	$0.02$	$2.01$	$2$
$0.001$	$0.002001$	$0.002$	$2.001$	$2$
$-0.1$	$-0.19$	$-0.2$	$1.9$	$2$
$-0.01$	$-0.0199$	$-0.02$	$1.99$	$2$
$-0.001$	$-0.001999$	$-0.002$	$1.999$	$2$

正步长表示向右移动，负步长表示向左移动。这个例子中，只要步长非零，真实增量之比就不等于 $2$；但从两侧缩小步长，它都趋近于 $2$。表格展示趋势，严格结论来自恒等式 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2+\Delta x$：

f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2.

后续历史走向

17 世纪：莱布尼茨、牛顿使用无穷小，计算结果极其好用，物理、几何大量成功，但基础逻辑有漏洞，饱受质疑。

这里要说一句，虽然现代标准分析里没有 “无限小处” 这个概念，但学习中建立直觉，是非常不错的。

18 世纪：大量数学家一边用，一边试图修补无穷小，但始终没有解决 “既是 0 又不是 0”。

19 世纪：柯西、魏尔斯特拉斯，彻底抛弃 “实无穷小数”，建立极限 $\varepsilon-\delta$ 理论:

设实函数 $f$ 的定义域为 $D$，$a$ 是 $D$ 的聚点，即 $a$ 附近任意小的范围内都有不同于 $a$ 的定义域中的点。$\lim_{x\to a}f(x)=L$ 的严格含义是：对任意给定的误差容限 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对所有 $x\in D$，只要 $0<|x-a|<\delta$，就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。其中，$\varepsilon$ 控制函数值与极限的距离，$\delta$ 控制自变量与 $a$ 的距离；先任意给定 $\varepsilon$，再选择合适的 $\delta$，这个 $\delta$ 可以依赖 $\varepsilon$，但不能随随后考察的 $x$ 改变。直观地说：无论要求函数值多接近 $L$，只要把自变量限制在足够小的去心邻域内，就能保证满足要求。这里不要求 $f(a)$ 有定义，也不要求 $f(a)=L$。例如，对 $f(x)=x^2$ 在固定点 $a$ 处的导数，当 $h\neq0$ 时，差商为 $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h$；给定任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，则 $0<|h|<\delta$ 时，差商与 $2a$ 的距离为 $|h|<\varepsilon$，所以差商的极限严格等于 $2a$。整个过程既没有除以零，也没有把非零的 $h$ 当作零直接丢掉。

导数重新定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$，是有限增量的极限，不再拿无穷小做除法。所以$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$是极限，不是除法！$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$是极限，不是除法！$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$是极限，不是除法！重要的事情说三遍。

微分 $\mathrm{d}y$ 重新定义：$\mathrm{d}y \overset{\mathrm{def}}{=}f'(x)\mathrm{d}x$，定义成线性主部，不再代表无穷小增量。

记号 $\mathrm{d}y,\mathrm{d}x$ 保留下来，但在现代标准分析中有了严格定义。准确地说，导数由真实增量之比的极限定义，而不是由两个“无穷小实数”相除得到；定义微分 $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$ 后，当 $\mathrm{d}x\neq0$ 时，微分之比也确实等于导数。不能把微分之比与真实增量之比混为一谈。

另附：derivative vs differentiation

这两个词中文都常翻译出 “导数、微分”，极易混淆；英文词义分工非常清晰，同时对应微积分里两套概念。

核心词义速览

derivative /dɪˈrɪvətɪv/ 名词 n.

👉 导数（那个结果、那个函数）

$f'(x)$ 这个东西本身叫 derivative。
differentiation /ˌdɪfəˌrenʃiˈeɪʃn/ 名词 n.

👉 求导这个动作、求导运算、微分法；是一个过程 / 操作。

配套相关词一并理清：

differentiate v. 动词：对… 求导（做求导这件事）
differential adj./n.：微分的；微分 $\mathrm{d}y$（对象）

举例对比

derivative（结果，导数）

The derivative of $x^2$ is $2x$.

$x^2$ 的导数是 $2x$。

derivative 是一个数或者函数，是算完之后得到的产物。
$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\;f'(x)$ 都是 derivative。

differentiation（过程：求导运算）

Differentiation is the process of finding the derivative.

求导（微分运算） 就是求导数的过程。

We use the rules of differentiation to compute derivatives.

我们用求导法则来计算导数。

✅ 一句话记忆：

Differentiation 是干活；derivative 是干出来的成品。

求导（动作）⇒ 得到导数（结果）。